点到平面距离

点到平面的距离定义是描述在三维空间中，一个特定的点到某一平面的最小几何长度。当这个点恰好位于平面之上时，它到该平面的距离为零。

计算公式

对于平面的标准方程 Ax + By + Cz + D = 0 和点 P(x₀, y₀, z₀)来说，点P到平面的距离公式是这样的：

\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

其中，分母代表的是平面法向量 n=(A,B,C) 的模长，而分子则是点坐标代入平面方程后的绝对值。

推导与几何意义

向量法推导：

1. 在平面上任选一个点 Q(x₁, y₁, z₁) ，那么向量 QP 的表达式为 (x₀−x₁, y₀−y₁, z₀−z₁) 。

2. 距离d等于向量QP在法向量n方向上的投影长度绝对值。换句话说，距离d是向量QP与平面法线之间的“夹角的余弦值”乘以向量QP的模长。数学表达为：\(d = \frac{|\mathbf{QP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}\)。进一步代入向量QP的坐标表达式和平面方程的参数，我们得到上述公式。

特殊情况与补充说明：

点在平面内：如果点P的坐标满足平面方程 Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0，那么该点到平面的距离就是0。这意味着点P实际上位于平面上。

几何应用：这个公式在三维几何问题中非常有用，例如计算立体图形的高、寻找垂足的位置等。通过结合向量投影和代数运算，该公式能够高效地解决空间几何中的距离问题。在实际的三维建模、计算机图形学、机器人学等领域，这一公式都有广泛的应用。

示例（简化）：

考虑平面方程 x + 2y − 2z + 3 = 0 和点 P(1, −1, 2)。代入上述公式，我们得到：\(d = \frac{|1×1 + 2×(-1) + (-2)×2 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}\)。通过这个例子，我们可以看到如何通过结合向量投影和简单的代数运算，利用这个公式高效地计算空间中的点到平面的距离。