对称点坐标公式 (2)

直线\\( PP' \\)与直线\\( L \\)垂直。直线\\( PP' \\)的斜率\\( k_{PP'} \\)为\\( y - y', x - x' \\)（两点间斜率公式），而直线\\( L \\)的斜率\\( k_L \\)为\\( -\\frac{a}{b} \\)。由于两直线垂直，所以\\( k_{PP'} \\times k_L = -1 \\)，即：

\\[(y - y')(x - x') = -\frac{a}{b}\\] 将上述两个方程联立求解，即可得到点\\( P'(x', y') \\)的坐标。

应用实例：

假设给定点\\( P(-1, 2) \\)和直线方程\\( L: 2x - y + 3 = 0 \\)，求点\\( P \\)关于直线\\( L \\)的对称点\\( P'(x', y') \\)。根据上面的推导过程，我们可以按照以下步骤求解：

步骤一：根据中点条件，设对称点坐标为\\( P'(x', y') \\)，中点坐标公式为\\( M(\\frac{-1+x'}{2}, \\frac{2+y'}{2}) \\)。代入直线方程得到： \[ 2(\\frac{-1+x'}{2}) - \\frac{2+y'}{2} + 3 = 0 \\]

整理得到：

\[ x' + y' = 4 \\]

此为第一个方程。接着，根据垂直条件得到第二个方程。联立解出这两个方程，得到对称点的坐标。

通过上述推导过程和应用实例，我们可以方便地找到给定点关于给定直线的对称点的坐标。这在几何学和计算机图形学等领域具有广泛的应用价值。