样本方差公式

在统计学中，样本方差的计算是一项重要任务。公式 s^2 为我们提供了一种量化的方式，用以描述样本数据与样本均值之间的离散程度。公式如下：s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2，其中 \bar{x} 是样本均值，n 是样本容量。为何分母是 n-1 而不是 n 呢？这是因为使用 n-1 作为分母是为了得到总体方差的无偏估计。

推导过程是这样的：我们展开平方和，将样本方差的计算与样本均值 \bar{x} 联系起来。然后，我们进行期望值计算，对每个数据点 xi 的平方和样本均值的平方进行期望值的计算。接下来，我们计算平方和的期望，得到 E[\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2] = (n-1)\sigma^2。我们通过无偏估计的概念，将上述结果除以 n-1，得到样本方差 s^2。这个 s^2 是总体方差 \sigma^2 的无偏估计量。也就是说，s^2 的期望值等于总体方差 \sigma^2。

这个公式的应用非常广泛，它是统计学中的基础概念之一。使用 n-1 作为分母是为了纠正因使用样本均值而导致的自由度损失。换句话说，如果我们使用 n 作为分母，我们的估计将会偏向于总体方差的低估。为了得到更准确的结果，我们使用 n-1 作为分母来计算样本方差。这样，我们可以更准确地了解我们的样本数据如何与总体分布相比较。通过这种方式，我们可以更好地理解和解释我们的数据，从而做出更明智的决策。