切割线定理证明

定理阐述：

从圆外的一点P引出一条切线PT和一条割线PAB，其中A和B是割线与圆的交点，且PA小于PB。切线的长度的平方等于割线的全长与其外部部分的乘积。具体表达为：PT² = PA × PB。

证明过程：

1. 连接相关点并应用弦切角定理：

连接切点T和割线与圆的交点A、B。依据弦切角定理，我们知道切线PT与弦TA所形成的角∠PTA等于对应弧TA的圆周角∠TBA。也就是说，∠PTA = ∠TBA。

2. 识别相似三角形：

观察三角形PTA和三角形PBT，我们发现它们有一个公共角P，并且根据弦切角定理，∠PTA = ∠PBT。根据AA相似准则（两个三角形如果两组对应的角相等，则这两个三角形相似），我们可以确定这两个三角形是相似的。△PTA ∼ △PBT。

3. 利用相似三角形对应边成比例：

根据相似三角形的性质，我们知道对应的边是成比例的。PT与PB的比例等于PA与PT的比例。数学表达为：PT/PB = PA/PT。交叉相乘后得到：PT² = PA × PB。

结论阐述：

通过结合弦切角定理和相似三角形的性质，我们成功证明了切割线定理PT² = PA × PB。这一几何定理揭示了圆外一点到圆的切线与割线之间的长度关系，展示了几何图形中的和谐与比例之美。