几何布朗运动 几何布朗运动的期望

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）是一种连续时间的随机过程，广泛应用于金融数学领域，用以模拟股票价格等非负随机变量的动态变化。下面，我们将深入几何布朗运动的定义、模型、期望的推导、特性与应用，以及其与普通布朗运动的对比。

一、定义与模型

几何布朗运动是通过随机微分方程（SDE）来描述的：

dS_t = μS_t dt + σS_t dW_t

其中：

S_t 表示时间 t 时的价格或变量值。

μ 代表漂移率，即单位时间的平均增长率。

σ 为波动率。

W_t 为标准布朗运动，即维纳过程。

二、期望的推导

通过对数变换和应用伊藤引理，我们得到几何布朗运动的显式解：

S_t = S_0 exp⁡[(μ - σ^2/2)t + σW_t]

由于 W_t 服从均值为0、方差为 t 的正态分布，因此其期望为：

E[S_t] = S_0 e^(μt)

推导过程中用到了对数正态分布的性质：如果 ln X 服从均值为 u、方差为 au^2 的正态分布，那么 E[X] = e^(u + au^2/2)。在这里，ln S_t 的均值为 ln S_0 + (μσ^2/2)t，方差为 σ^2 t，所以期望为上述结果。

三、特性与应用

1. 非负性：几何布朗运动的值始终为正，适用于描述股价等场景。

2. 对数正态分布：St 服从对数正态分布，其期望随 μ 指数增长。

3. 金融模型：广泛应用于布莱克-斯科尔斯期权定价模型等金融领域。

四、对比普通布朗运动

普通布朗运动的期望为 μt，而几何布朗运动的期望包含指数增长项 e^(μt)，这反映了变量比例增长的特性。相比之下，几何布朗运动更能准确地描述一些非负随机变量的动态变化，特别是在金融领域。

几何布朗运动作为一种连续时间的随机过程，在金融数学领域具有重要的应用价值。通过深入了解其定义、模型、期望的推导、特性与应用，以及与普通布朗运动的对比，我们能更好地理解和应用这一模型，为金融市场的分析和预测提供有力工具。