二项式定理展开式公式

二项式定理的展开式公式是专门用来处理形如$(a + b)^n$的表达式。这个公式展开后，每一项都由组合数、$a$的幂和$b$的幂组成。公式中的通项表达为$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，这里的$k$从0变化到$n$，并且需要对所有项进行求和。

让我们通过一些实例来验证这个公式的正确性。

当$n = 2$时，表达式$(a + b)^2$展开后得到$a^2 + 2ab + b^2$。对应的组合数为$\binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}$，即1, 2, 1，与展开式完全吻合。

当$n = 3$时，表达式$(a + b)^3$展开为$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。组合数分别为$\binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3}$，也就是1, 3, 3, 1，同样与展开式相符。

这些实例进一步验证了通项公式的正确性。每一项都符合$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$的形式，其中$a$的指数从$n$递减到0，而$b$的指数从0递增到$n$。所有这些项加起来，总和为$n$。

现在，我们可以骄傲地呈现二项式定理的展开式公式的最终答案，它像一颗璀璨的宝石，熠熠生辉：

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$

这个公式是数学中的一颗明珠，对于理解和计算二项式有着极其重要的价值。