正态分布的分布函数

正态分布的分布函数，即累积分布函数（CDF），描绘了一个随机变量X服从均值为μ、标准差为σ的正态分布时，其取值小于或等于x的概率。由于正态分布的概率密度函数（PDF）没有简单的积分形式，其分布函数通常通过误差函数（erf）或标准正态分布函数Φ来表示。

深入标准正态分布的分布函数，我们发现其定义围绕着均值为零、标准差为一的特殊情形展开。此时的分布函数Φ(z)表达为：

Φ(z) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{-∞}^z e^{-t^2/2} \, dt

这一积分形式可巧妙地转换为误差函数的形式，使得计算更为便捷：

Φ(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + erf\left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right]

其中，误差函数erf(x)的定义为：

erf(x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_0^x e^{-t^2} \, dt

当我们转向一般正态分布时，其分布函数F(x)通过标准化变量Z = \frac{X - μ}{σ}转换为标准正态分布。我们可以得到：

F(x) = Φ\left( \frac{x - μ}{σ} \right) = \frac{1}{2} \left[ 1 + erf\left( \frac{x - μ}{σ\sqrt{2}} \right) \right]

总结公式，正态分布的分布函数可表达为：通过标准化将任意正态分布转换为标准正态分布，并利用误差函数计算累积概率。这一表达式广泛应用于统计学和工程学中的概率计算。无论我们是在处理标准正态分布还是一般正态分布，这一公式都是计算概率的强大工具。