二重积分的计算

积分区域D与它的双重积分之旅

一、描绘积分区域D的轮廓：

解方程x² = √x，交点处我们找到了x=0和x=1的两个点，它们对应的y值分别为0和函数√x的值。区域D便位于这两个点之间，由下曲线y = x²和上曲线y = √x共同围成。

二、转化思路为累次积分：

我们选择X型区域，以y为先行积分的对象，再对x进行积分。公式表达为：

∫(从0到1) ∫(从x²到√x) (x + y) dy dx

三、深入理解内部积分：

我们先对内部的y进行积分，其过程如下：

∫(从x²到√x) (x + y) dy = [ xy + 1/2y² ] (从x²积分到√x )

代入上下限进行计算，我们得到：

[( x√x + 1/2x ) - ( x³ + 1/2x^4 )] = x^{3/2} + 1/2x - x³ - 1/2x^4

四、解开外部积分的秘密：

接下来，我们对上一步得到的结果进行外部积分，公式如下：

∫(从0到1) ( x^{3/2} + 1/2x - x³ - 1/2x^4 ) dx

对每一项分别进行积分，我们可以逐步解开这个积分的神秘面纱。这个过程将揭示数学中积分与函数之间深层次的联系与奥秘。这个双重积分的计算过程既展现了数学的严谨性，也体现了数学之美的独特魅力。让我们继续这个美妙的数学世界吧！